FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
Persamaan kuadrat pada dasarnya merupakan bagian dari fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax2 + bx + c = 0, fungsi kuadrat berbentuk f(x) = ax2 + bx + c. Pada titik f(x) tertentu, maka fungsi kuadrat merupakan persamaan kuadrat atau menjadi ax2 + bx + c – f(x) = 0.Pemetaan dari fungsi kuadrat akan menghasilkan grafik berbentuk parabola. Untuk membuat grafik fungsi kuadrat, kita mesti memasukkan angka x tertentu ke dalam persamaan sehingga dapat memperoleh nilai y. Jika harus mem-plot angka x satu per satu, maka butuh waktu yang lama sekali untuk menyelesaikan grafik fungsi kuadrat dengan batas nilai x tertentu. Oleh karena itu, pembuatan grafik fungsi kuadrat biasanya memanfaatkan properti yang terdapat pada fungsi kuadrat.
Berikut beberapa properti yang digunakan pada fungsi kuadrat dengan bentuk umum fungsi sebagai berikut.
f(x) = ax2 + bx + c
KoefisienKoefisien a digunakan untuk mengetahui arah terbukanya grafik parabola dan tingkat lengkungan dari grafik tersebut. Jika a > 0, maka grafik akan berbentuk parabola terbuka keatas. Jika a < 0, maka parabola akan berbentuk parabola terbuka ke bawah. Semakin besar nilai a, atau |a|, maka semakin lengkung grafik tersebut. Sebaliknya, nilai a yang semakin rendah akan membuat grafik semakin landai.
Koefisien b digunakan untuk mengetahui tingkat kemiringan ketika grafik beririsan dengan garis y. Sedangkan koefisien c merupakan titik dimana parabola akan beririsan dengan garis y ( x=0 -> f(0) = c).
Titik Puncak (Maksimum/Minimum)
Titik puncak adalah titik dimana grafik parabola akan berubah arah. dengan menggunakan kalkulus, kita dapat menentukan maksimum atau minimum dari suatu fungsi seperti:
f(x) = ax2 + bx + c
=> f'(x) = 2 ax + b
pada kondisi dimana f'(x) = 0, maka kita akan memperoleh nilai x puncak
yaitu:
x = -(b/2a)
Dengan memasukkan nilai x maksimum, maka nilai f(x) puncak menjadi:
f(-b/2a) = a (-b/2a)2 + b
(-b/2a) + c
f(-b/2a) = (b2/4a) +
(-b2/2a) + c
f(-b/2a) = – (b2 –
4ac)/4a
Dari proses tersebut, kita memperoleh titik puncak dari fungsi kuadrat
(x,y) yaitu
( -(b/2a), – (b2 –
4ac)/4a ).
Contoh Soal Dan Cara Menggambarkan Grafiknya
1. Temukan titik puncak dari grafik f(x) = 3x2 + 5x + 4.Jawab
Titik puncak dari grafik dapat diketahui sesuai dengan penjelasan diatas yaitu (-b/2a, -(b2 – 4ac)/4a). Dengan begitu, maka titik puncak dari fungsi diatas menjadi:
x = -(5) / (2.3) = -5/6
y = – (52 – 4.3.4) /
4(3) = 23/12
Titik maksimum dari fungsi diatas adalah (-5/6 , 23/12). Fungsi ini
tergambar pada grafik seperti berikut:
Contoh soal menggambar grafik fungsi kuadrat. Jika a, b dan c bilangan real positif sembarang, maka lukislah f (x) = -ax2-bx+c
Contoh
1:
Ditentukan: f(x) = x2
– 6x – 7
Ditanyakan:
- nilai pembuat nol fungsi f
- nilai f untuk x = 0 , x = –2
Jawab:
- Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f
adalah 7 dan –1
2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi
Kuadrat
Untuk menentukan nilai
maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1)
f(x) = x2 – 2x – 3
= x2 – 2x +
1 – 4
=(x – 1)2 – 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai
positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil
(minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2
– 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = -4.
Jadi, f(x) = x2
– 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.
2)
f(x) = –x2 + 4x + 5
= –x2 + 4x
– 4 + 9
= –(x2 – 4x
+ 4) + 9
= –(x – 2)2 + 9
Nilai terbesar dari – (x – 2)2
sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar dari –
(x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = –(x
– 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x
+ 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang perhatikan bentuk
umum f(x) = ax2 + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x) = a
x2 + b x + c
Untuk a > 0, f
mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a < 0, f
mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x)
= 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x + 7 , a =
2 , b = 4 , c = 7
Nilai minimum fungsi f = 5
3. Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat f : x
® y = a x2 + b x + c grafiknya
berbentuk parabola.
- Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
- Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
- Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
- Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.
Cara melukis grafik fungsi kuadrat
dengan menentukan:
1)
Titik potong grafik dengan sumbu-X.
Titik potong itu terletak pada
sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka
a x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b
x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik
potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).
D > 0 ® terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1
, 0) dan (x2 , 0).
D = 0 ® terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.
D < 0 ® tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.
2)
Titik potong dengan sumbu-Y.
Karena titik potong terletak pada
sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga
koordinatnya (0 , c).
3)
Sumbu simetri
Karena sumbu simetri adalah garis
yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri
adalah:
4)
Titik Puncak/ Balik
Koordinat titik puncak
Catatan:
- Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x2 + b x + c berbentuk parabola.
- Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
- Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.
Contoh:
Buatlah sketsa grafik y = x2
– 2x – 3 untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X
diperoleh jika y = 0.
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3 dan x = –1
Koordinat titik potongnya adalah :
A(3 , 0) dan B(–1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y
diperoleh jika x = 0
y = 0 – 0 – 3 = – 3
Koordinat titik potongnya C(0
, –3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak ® D(1 , –4)
Hubungkan titik-titik A, B,
C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi
y = x3 – 2x – 3.
4. Menentukan
Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu
a. Fungsi kuadrat yang grafiknya
melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi
kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah y
= a x2 + b x + c
Grafik melalui titik (–1 , 0)
® 0 = a(–1)2 + b (–1) + c
0 = a – b + c ……………….
(1)
Grafik melalui titik (1 , 8)
® 8 =a (1)2 + b (1) + c
8 = a + b + c
………………. (2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 )
® 6 = a (2)2 + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c
…………… (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3)
dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.
(1) a – b
+ c = 0 (2) a + b + c
=
8
a – b + c = 0
(2) a + b
+ c =
8
(3) 4a + 2b + c =
6
–2 – 4 + c = 0
–2b = –8
3a – b
=
2
c = 6
b =
4
– 3a
– 4 = 2
a = –2
Jadi, fungsi kuadrat itu
adalah y = –2x2 + 4x + 6.
b.
Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Misalkan titik potongnya (p ,
0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0)
memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c
sehingga 0= ap2 + bp + c dan
0= aq2 + bq
+ c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p2 – q2)
+ b(p – q)
b(p – q) = –a(p2 – q2)
= –a(p + q) (p
– q)
b = – a(p + q)
Substitusikan b = – a(p
+ q) ke ap2 + bp +
c = 0
ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0
ap2 – ap2 – pqa + c = 0
c = pqa
Untuk b = – a(p
+ q) dan c = pqa maka
y = a x2 + b x + c Û y =
ax2 – a(p + q)x + pqa
= a(x2 – (p + q)x + pq)
= a(x – p) (x
– q)
Jadi, y = a(x –
p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong
sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3,
–8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik
(–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x – 1)
= a(x + 5) (x –
1)
Grafik melalui titik (–3, –8),
berarti
–8 = a(–3+5) (–3 – 1)
= –8a
a = 1
Substitusikan a = 1
pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga
diperoleh y = x2 + 4x – 5.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y
= x2 + 4x – 5.
c. Menentukan fungsi kuadrat jika
koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah
grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c
adalah .
Dengan melihat kembali kajian
terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx
+ c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang
berpuncak di (p , q) adalah y = a (x
– p)2 + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya
berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 – 1) + 3
0 = a + 3
a = –3
Substitusikan a = –3
pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh
y = –3 (x – 1)2 + 3
y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3
y = –3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y
= –3x2 + 6x.
d. Fungsi kuadrat yang
grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang
“Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan
hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik
tertinggi atau terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga fungsi kuadrat yang
grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya
menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 – 2)2 = 4a
a = 1
Jadi, fungsi kuadrat itu y =
1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x +
4.
Pemakaian Diskriminan Persamaan
Kuadrat
Pada sub bab terdahulu, telah
dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
yaitu D = b2 – 4ac . Selain itu dibahas pula
jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Pada bagian ini akan dibahas
pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :
- jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
- tanda-tanda fungsi kuadrat
- garis dan parabola
b. Tanda-tanda fungsi kuadrat
Kedudukan parabola y = a x2
+ b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan
nilai diskriminan .
- Berdasarkan tanda a
a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola
terbuka ke atas).
a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola
terbuka ke bawah).
- Berdasarkan tanda D = b2 – 4 a c
D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik
yang berlainan.
D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang
sama atau parabola menyinggung sumbu-X.
D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga
tidak menyinggung sumbu-X.
Dengan menggabungkan tanda-tanda a
dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai
berikut:
Dengan memperhatikan gambar-gambar di
atas, diperoleh kesimpulan:
Fungsi kuadrat yang dinyatakan
dengan f(x) = a x2 + b x + c =
0 , a ¹ 0.
Untuk a > 0:
1)
D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) > 0 untuk x < x1 dan x
> x2
f(x) < 0 untuk x1< x < x2
2)
D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1
maka f(x) = 0
3)
D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi
f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit
positif.
Untuk a < 0:
1)
D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) < 0 untuk x < x1 dan x
> x2
f(x) > 0 untuk x1< x < x2
2)
D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1
maka f(x) = 0
3)
D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :
f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit
negatif.
Contoh 1:
Tentukan batas-batas nilai p
agar fungsi f(x) = x2 – 4 x – m +
2 definit positif.
Jawab:
f(x) = x2 – 4 x – m + 2
Syarat agar fungsi kuadrat definit
positif adalah a > 0 dan D < 0.
a = 1 bilangan positif
D = (–4)2 – 4 (1) (–m
+ 2) = 16 + 4 m – 8
= 4 m + 8
D < 0 « 4 m +
8 < 0
m < –2
Jadi, agar f(x) = x2
– 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2
