PEMBAHASAN FUNGSI KUADRAT

FUNGSI KUADRAT

Fungsi Kuadrat

Persamaan kuadrat pada dasarnya merupakan bagian dari fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax² + bx + c = 0, fungsi kuadrat berbentuk f(x) = ax² + bx + c. Pada titik f(x) tertentu, maka fungsi kuadrat merupakan persamaan kuadrat atau menjadi ax² + bx + c – f(x) = 0.
Pemetaan dari fungsi kuadrat akan menghasilkan grafik berbentuk parabola. Untuk membuat grafik fungsi kuadrat, kita mesti memasukkan angka x tertentu ke dalam persamaan sehingga dapat memperoleh nilai y. Jika harus mem-plot angka x satu per satu, maka butuh waktu yang lama sekali untuk menyelesaikan grafik fungsi kuadrat dengan batas nilai x tertentu. Oleh karena itu, pembuatan grafik fungsi kuadrat biasanya memanfaatkan properti yang terdapat pada fungsi kuadrat.
Berikut beberapa properti yang digunakan pada fungsi kuadrat dengan bentuk umum fungsi sebagai berikut.

f(x) = ax² + bx + c

Koefisien
Koefisien a digunakan untuk mengetahui arah terbukanya grafik parabola dan tingkat lengkungan dari grafik tersebut. Jika a > 0, maka grafik akan berbentuk parabola terbuka keatas. Jika a < 0, maka parabola akan berbentuk parabola terbuka ke bawah. Semakin besar nilai a, atau |a|, maka semakin lengkung grafik tersebut. Sebaliknya, nilai a yang semakin rendah akan membuat grafik semakin landai.
Koefisien b digunakan untuk mengetahui tingkat kemiringan ketika grafik beririsan dengan garis y. Sedangkan koefisien c merupakan titik dimana parabola akan beririsan dengan garis y ( x=0 -> f(0) = c).
Titik Puncak (Maksimum/Minimum)
Titik puncak adalah titik dimana grafik parabola akan berubah arah. dengan menggunakan kalkulus, kita dapat menentukan maksimum atau minimum dari suatu fungsi seperti:

f(x) = ax² + bx + c => f'(x) = 2 ax + b

pada kondisi dimana f'(x) = 0, maka kita akan memperoleh nilai x puncak yaitu:

x = -(b/2a)

Dengan memasukkan nilai x maksimum, maka nilai f(x) puncak menjadi:

f(-b/2a) = a (-b/2a)² + b (-b/2a) + c

 f(-b/2a) = (b²/4a) + (-b²/2a) + c

f(-b/2a) = – (b² – 4ac)/4a

Dari proses tersebut, kita memperoleh titik puncak dari fungsi kuadrat (x,y) yaitu

( -(b/2a), – (b² – 4ac)/4a ).

Contoh Soal Dan Cara Menggambarkan Grafiknya

1. Temukan titik puncak dari grafik f(x) = 3x² + 5x + 4.
Jawab
Titik puncak dari grafik dapat diketahui sesuai dengan penjelasan diatas yaitu (-b/2a, -(b² – 4ac)/4a). Dengan begitu, maka titik puncak dari fungsi diatas menjadi:

x = -(5) / (2.3) = -5/6

y = – (5² – 4.3.4) / 4(3) = 23/12

Titik maksimum dari fungsi diatas adalah (-5/6 , 23/12). Fungsi ini tergambar pada grafik seperti berikut:

Contoh soal menggambar grafik fungsi kuadrat. Jika a, b dan c bilangan real positif sembarang,    maka lukislah  f (x) = -ax²-bx+c

Contoh 1:        

Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x² – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1)       f(x) = x² – 2x – 3

= x² – 2x + 1 – 4

=(x – 1)² – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = -4.

Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2)       f(x) = –x² + 4x + 5

= –x² + 4x – 4 + 9

= –(x² – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)² + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax² + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x² + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5

3. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat  f : x ® y = a x² + b x + c grafiknya berbentuk parabola.

• Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
• Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
• Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
• Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.

Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:

1)       Titik potong grafik dengan sumbu-X.

Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka

a x² + b x + c = 0. Karena a x² + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).

D > 0 ®  terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x₁ , 0)  dan  (x₂ , 0).

D = 0 ®   terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.

D < 0 ®  tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.

2)       Titik potong dengan sumbu-Y.

Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).

3)       Sumbu simetri

Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:

4)       Titik Puncak/ Balik

Koordinat titik puncak

Catatan:

• Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x² + b x + c berbentuk parabola.
• Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
• Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.

Contoh:

Buatlah sketsa grafik y = x² – 2x – 3  untuk x e R.

Jawab:

Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.

x² – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3   dan  x = –1

Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)

Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0

y = 0 – 0 – 3 = – 3

Koordinat titik potongnya C(0 , –3)

Sumbu simetri, garis

Titik puncak  ® D(1 , –4)

Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik  fungsi

y = x³ – 2x – 3.

4.     Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik

Contoh:

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).

Jawab :

Misal persamaan grafik adalah  y = a x² + b x + c

Grafik melalui titik (–1 , 0)  ®  0 = a(–1)² + b (–1) + c

0 = a – b + c ………………. (1)

Grafik melalui titik (1 , 8)  ®    8 =a (1)² + b (1) + c

8 = a + b + c ………………. (2)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 )  ®  6 = a (2)² + b (2) + c

6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.

(1)   a – b + c = 0 (2)    a +   b + c = 8                               a – b + c = 0

(2)   a + b + c = 8                                 (3)   4a + 2b + c = 6                            –2 – 4 + c = 0

–2b = –8                                       3a –   b = 2                                            c = 6

b = 4                                               – 3a – 4 = 2

a = –2

Jadi, fungsi kuadrat itu adalah   y = –2x² + 4x + 6.

b.      Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).

(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x² + b x + c sehingga  0= ap² + bp + c dan

0= aq² + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:

0 = a(p² – q²) + b(p – q)

b(p – q) = –a(p² – q²)

= –a(p + q) (p – q)

b = – a(p + q)

Substitusikan b = – a(p + q)   ke   ap² + bp + c = 0

ap² + (– a(p + q)) p + c = 0

ap² – ap² – pqa + c = 0

c = pqa

Untuk  b = – a(p + q)  dan  c = pqa maka

y = a x² + b x + c Û  y = ax² – a(p + q)x + pqa

= a(x² – (p + q)x + pq)

= a(x – p) (x – q)

Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !

Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya

y = a(x – (–5)) (x – 1)

= a(x + 5) (x – 1)

Grafik melalui titik (–3, –8), berarti

–8 = a(–3+5) (–3  – 1)

=  –8a

a = 1

Substitusikan a = 1 pada  y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh   y = x² + 4x – 5.

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x² + 4x – 5.

c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui

Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c adalah .

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat  y = ax² + bx + c dapat

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah  y = a (x – p)² + q

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).

Jawab:

Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah  y = (x – 1)² + 3

Grafik melalui titik (0,0) berarti:

0 = a(0 – 1) + 3

0 = a + 3

a = –3

Substitusikan a = –3 pada   y = a (x – 1)² + 3 maka diperoleh

y = –3 (x – 1)² + 3

y = –3 (x² – 2x + 1) + 3

y = –3x² + 6x

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x² + 6x.

d.   Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b² – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).

Sehingga .

Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah  .

Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)²

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah

y = a (x – 2)²

Grafik melalui titik (0,4) berarti :

4 = a(0 – 2)² = 4a

a = 1

Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)² atau  y = x² – 4x + 4.

Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat

Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yaitu D = b² – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :

1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
2. tanda-tanda fungsi kuadrat
3. garis dan parabola

b. Tanda-tanda fungsi kuadrat

Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .

1. Berdasarkan tanda a

a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).

a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).

1. Berdasarkan tanda D = b² – 4 a c

D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.

D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.

D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X.

Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:

Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:

Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x² + b x + c = 0 ,  a ¹ 0.

Untuk a > 0:

1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)

f(x) > 0 untuk x < x₁ dan x > x₂

f(x) < 0  untuk  x₁< x < x₂

2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁)²

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x) = 0

3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.

Untuk  a < 0:

1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)

f(x) < 0 untuk x < x₁ dan x > x₂

f(x) > 0  untuk  x₁< x < x₂

2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁)²

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x) = 0

3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.

Contoh 1:

Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x² – 4 x – m + 2  definit positif.

Jawab:

f(x) = x² – 4 x – m + 2

Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah  a > 0  dan  D < 0.

a = 1 bilangan positif

D = (–4)² – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8

= 4 m + 8

D < 0  «  4 m + 8 < 0

m < –2

Jadi, agar f(x) = x² – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2